על תחרויות של חידות מתמטיות לנוער

מאת: עודד לבנה

לפני כמה ימים נפל לידי דף המפרסם את תחרות הערים

בדף היו ארבע שאלות מתחרויות קודמות:

1. אורית, בני וגבי הרכיבו מילים מרשימת אותיות נתונה. כל אחד מהם רשם מספר שונה
של מילים כשמספר המילים הגדול ביותר נרשם על ידי אורית והקטן ביותר על ידי גבי.
לאחר מכן ניתן לילדים ניקוד על המילים שהם חיברו: מלה שנרשמה על ידי שניים
מהילדים מזכה כל אחד מהם בנקודה אחת. מלה שנרשמה על ידי אחד מהילדים בלבד
מזכה אותו בשתי נקודות. מלה שנרשמה על ידי שלושת הילדים לא מזכה בנקודות.
האם יתכן שגבי צבר את הניקוד הגבוה ביותר ואורית את הניקוד הנמוך ביותר?

;2      א. כמה ישרים דרושים כדי לחתוך את כל המשבצות של לוח 3 על ?3
;nbsp;          &יש לצייר את הישרים ולהוכיח שאי אפשר להסתפק בפחות ישרים.
;nbsp;          &ישר חותך משבצת אם הוא מחלק אותה לשני מצולעים.
;2      ב. אותה השאלה עבור לוח 4 על 4.

3. תייר הגיע לכפר שחלק מתושביו אומר תמיד אמת והיתר משקרים.
הכפריים נעמדו במעגל, פניהם כלפי מרכז המעגל,
וכל אחד מהם הכריז אם שכנו מימין הוא דובר אמת.
על יסוד מידע זה הצליח התייר לקבוע באופן חד משמעי את אחוז השקרנים בכפר.
מהו האחוז?

4. יש לחלק מלבן למספר סופי של משולשים אשר כולם דומים זה לזה,
ואשר אינם ישרי זוית. אפשר שחלק מהמשולשים יהיו חופפים.

מהי תחרות הערים
בברית המועצות היתה תרבות מפותחת של הוראת מתמטיקה, <
עיסוק בחידות מתמטיות ותחרויות מתמטיות.
תרבות זו עדיין קיימת במדינות של ברית המועצות לשעבר.

שתי בעיות מתעוררות:
1. בגלל ריבוי הנערים המוכשרים העוסקים במתמטיקה קורה שחלק מהמוכשרים
אינם זוכים בפרסים בתחרויות, למרות שהם טובים מאד,
בגלל שיש בסביבתם נערים עוד יותר טובים.

2. תחרויות ארציות במתמטיקה הם בעיה אירגונית קשה במדינה ענקית כזו.
תארו לעצמכם שנער בן שלוש עשרה צריך לנסוע לבד מהמזרח הרחוק ועד למוסקבה.

אחד הפתרונות היה תחרות הערים, אשר התחילה ב-1980 :
התחרות מרוכזת במוסקבה, אך נערכת בערים שונות ובבתי ספר שונים.
המארגנים מאוניברסיטת מוסקבה כותבים את השאלות ומפיצים אותן בדואר.
היום מפיצים אותן בדואר אלקטרוני, והן מגיעות גם לישראל (מזה עשר שנים)
ולמדינות מערביות נוספות.
בארץ מנצחים על המלאכה עולים מברית המועצות, כמו בוריס ביגון אשר עוסק בתחרות
מזה שנים רבות.

בכל עיר שבה נערכת התחרות מקבלים המארגנים המקומיים את השאלות,
אם צריך- מתרגמים אותן, ועורכים תחרות לאנשים הגרים באותה עיר.
לא צריך לנסוע הרבה.

הפרסים אינם גדולים: רוב האנשים מקבלים ספרים
(הטובים ביותר מוזמנים לכנס בינלאומי בחו"ל), אך תחרות הערים היא
יוקרתית והזכיה בה מכובדת מאד.

בתחרות הערים זוכים אנשים רבים בפרסים ראשון שני ושלישי.

בין הזוכים היו גם ישראלים.

זו איננה תחרות שבה יש פרס ראשון אחד, אלא כל מי שהשאלון שלו היה מספיק טוב
מקבל פרס.

התחרות מחולקת לשתי קבוצות גיל ולשתי קטגוריות (שאלון רגיל ושאלון מתקדם)

il אתר בעברית על תחרות הערים אפשר למצוא ב:.ac.technion.wwwhttp://
באותו אתר יש גם בעיות מתמטיות, הודעות על חוגים ואוסף מצביעים לאתרים מתמטיים.

התחרות בארץ נערכת ב-7 באפריל, שעות 9:00 עד 14:30, בעברית וברוסית
ויש דף של תרגום מונחים לערבית. התחרות מיועדת לתלמידי כיתות ט-י"ב.

טלפונים לפרטים ולברורים:
חיפה: יבגני שוסטר,459413-053
ירושלים: בוריס קנייבסקי,5354824-02
תל אביב: בוריס קנייבסקי,5354824-02 ואנטולי שולמן 9641426-03
באר שבע: גלינה רוגצ'בסקי 916697-6409625, 053-07
נתניה: לב פוטיחה 8615730-306005, 09-054

תחרויות אחרות

כיום נערכות תחרויות מתמטיקה רבות בישראל, וההשתתפות בהן היא חוויה.

1. האולימפיאדה הישראלית במתמטיקה לנוער של מכון ויצמן על שם
פרופסור יוסף גיליס ז"ל, מחלוצי החינוך המתמטי לנוער
וממקימי חוגי המתמטיקה ותחרויות המתמטיקה.

2. תחרות החידות המתמטיות על שם פרופסור ירמיהו גרוסמן בטכניון- לנוער ולחיילים.

3. תחרות הערים- במקומות שונים בארץ.

4. התחרות הדו לאומית ישראל הונגריה 4- נציגים ישראלים מתחרים נגד
4 נציגים הונגריים.
יש 4 שאלות, בכל אחת אפשר לצבור עד 7 נקודות.
פעם בשנתיים נערכת התחרות בישראל ופעם בשנתיים בהונגריה.
ראוי לציין שהונגריה היא מעצמה בכל מה שקשור למתמטיקה,
הן בהשגי הנוער והן במתמטיקאים בוגרים (כמו פאול ארדוש)

5. תחרות העבודות במתמטיקה ובמחשבים לתלמידי תיכון על שם שי בלימן
באוניברסיטת תל אביב.

6. אליפות בתי הספר בטכניון, אשר בה מתחרות קבוצות של 4 נציגים מבתי ספר שונים.
התחרות במתכונת דומה לתחרות האישית: ארבעת הנציגים יושבים עם דף ומנסים לפתור
את השאלות.

7. תחרות החידות המתמטיות הישראלית לסטודנטים ולתלמידי י"ב בבר אילן.

8. תחרות Putnam- תחרות אמריקנית במתכונת מבוזרת (כמו תחרות הערים) לסטודנטים
בכל רחבי ארצות הברית ומעט בשאר העולם.
בישראל משתתפת בה אוניברסיטת תל אביב.
אפשר לקרוא עליה ב-edu/math/compete/putnamexams > A> .ksu.wwwhttp://

9. האולימפיאדה הבינלאומית במתמטיקה לנוער (IMO),
אשר נערכת בכל שנה במקום אחר בעולם.
ישראל משתתפת באולימפיאדה מאז 1980 (האולימפיאדה ה-21 ).
בשנות השמונים נמנעו מדינות מסוימות להזמין את נבחרת ישראל.
בדרך כלל ישראל זוכה במקום הגבוה ביותר בין המדינות הקטנות מ-10 מליון תושבים,
ובמקום השני (אחרי הונגריה) בין המדינות בעלות פחות מ-20 מליון תושבים.
בין המדינות הזוכות במקומות הראשונים נמנות ארצות הברית, סין, רומניה,
רוסיה, ולאחרונה אירן
(סין לא השתתפה מסיבות פוליטיות, כי התחרות היתה בטאיוואן).
על האולימפיאדה הבינלאומית במתמטיקה אפשר לקרוא ב- htm .imoedu/amc/.unl.wwwhttp://
וב-html .indexnl/ioi/imo/.tue.win.wwwhttp://
רשימת החידות מופיעה ב- html .imouk/.co.demon.kalva.wwwhttp://


החידות בתחרויות האלו הן באמת לפותרים כלים, והרבה פעמים הזוכים לא פתרו את
כל החידות.
דוגמא מובהקת לכך האולימפיאדה של שנת 1984:
התחרות היתה צריכה להימשך שלוש שעות.
כעבור פחות משעתיים החליט עדי לוי שהוא פתר כל מה שהוא יכול, ושהוא לא יצליח
יותר לפתור.
הוא הגיש את טופס הבחינה ויצא מחדר הבחינה.
כעבור כמה זמן הוא קיבל הודעה שזכה במקום הראשון.

נהוג להכניס לתוך החידות מאפיינים של המדינה המארחת, השנה, מספר התחרות וכדומה.
כך, למשל, באולימפיאדה הבינלאומית ה-26 בפינלנד 1985,
היתה שאלה אשר השתמשה בשני צבעי הדגל של פינלנד.
זה היה נעים לישראלים לקרוא, כי צבעי הדגל הפיני הם כחול ולבן, כמו שלנו
(ונדמה לי שכמו של יוון וארגנטינה).
כמו כן היתה שאלה אשר שיחקה על מספר השנה ומספר האולימפיאדה:
הוכח שבין כל 1985 מספרים טבעיים שונים, אשר לאף אחד מהם אין גורם ראשוני גדול מ-26,
יש ארבעה אשר מכפלתם היא חזקה רביעית של מספר טבעי.
רמז לחידה: שובך יונים (בטור קודם).

תחרויות נוספות יש (או לפחות היו) בקהילה של העולים מברית המועצות.
תחרויות אלו מתנהלות ברוסית.

תחרויות נוספות, אשר אינן נספרות אך גם בהן שואלים חידות הן
תחרויות המיון לאולימפיאדה הבינלאומית ולתחרות הדו לאומית.
דוגמא לשאלה מהמיון לאולימפיאדה הבינלאומית:
הוכח שסכום הספרות של המספר 2 בחזקת n שואף לאינסוף כאשר n שואף לאינסוף.

בשנת 1984 הוציאו פרופסור יוסף גיליס ודוקטור אברהם קריימר
(בעזרת היחידה לפעולות נוער והמחלקה להוראת המדעים של מכון וייצמן, רחובות)
חוברת של חידות מהאולימפיאדות הארציות במתמטיקה במכון וייצמן, עם רמזים ופתרונות.
דוגמא לשאלות מהחוברת:
1. נתון מספר טבעי אשר ספרת היחידות שלו היא 2.
יוצרים מספר חדש על ידי העברת ספרת היחידות 2 מהמקום האחרון למקום הראשון,
והמספר החדש שמתקבל גדול פי 2 מהמספר המקורי.
מהו המספר המקורי?

2. הוכח כי עבור כל שלושה מספרים ממשיים z,y,x מתקיים:
(z-y)(x-z) +(x-z)(y-x) + (y-z)(z-y) 0£.
באילו תנאים יתקיים שוויון?

3. הוכח כי אין אף סדרה חשבונית שהשורשים של 2, 3 ו-5 נמצאים בה.

4. בתוך ריבוע אשר אורך צלעו 1 נמצאות שני n בריבוע ועוד אחת נקודות.
הוכח כי אפשר לבנות מעגל בעל רדיוס 1 חלקי n אשר מכיל בפנים לפחות 3 נקודות.

5. נתונות חמש נקודות כלשהן במישור.
הוכח כי תמיד אפשר לבחור בשלוש מביניהן ולקבוע את האמצעית בין השלוש,
כך שהזוית ביניהן (אשר הנקודה האמצעית היא קודקוד הזוית),
היא בין 108 מעלות ל-180 מעלות.


עוד קצת על האולימפיאדה הבינלאומית:
באולימפיאדה זו מחלקים מדליות רבות: מחצית מהמשתתפים כמעט זוכים במדליות,
לפי המפתח הבא:1 מכל 12 זוכה במדליית זהב,1 מכל שישה זוכה במדליית כסף
ואחד מכל 4 זוכה בארד.
בין הזוכים במדליית הזהב מישראל נמנים שוני דר (שנות השמונים, היום דוקטור,
העביר חוגים לנוער בחידות מתמטיות והשתתף באירגון תחרויות),
עומר אנג'ל (1993, היה שותף בהעברת חוג חידות מתמטיות לנוער)
ולב בוכובסקי (אמצע שנות התשעים).
נדמה לי שהיה גם ישראלי שזכה בזהב בשנת 1980.
מישה טיומקין זכה במדליית זהב ובמלוא הנקודות (נדמה לי שעם עוד תשעה מתחרים)
במדי נבחרת ברית המועצות, קצת לפני שעלה ארצה.

html > A> דף של חידות רבות מתחרויות מתמטיות:.indexuk/.co.demon.kalva.wwwhttp://


אתר הבית של עודד לבנה