לראות את הדברים בפרופורציה

מאת: אלעזר ניומן

השעה שעת צהריים מוקדמת ואתה נוסע בכביש עירוני ומקשיב לרדיו. באחד המבזקים
בין השירים והפרסומות אתה שומע שמישהו הציע להעלות את המהירות המותרת בכבישים
מהירים מ 100 קמ"ש ל 120 קמ"ש.
"סוף סוף" אתה אומר לעצמך בשביעות רצון, הנעלמת די מהר כאשר אתה מבחין לפתע
בשוטר תנועה, לוחץ אינסטינקטיבית על ה"ברקס" ושומע איך מאחור מגש הסופגניות
יחד עם האגרטל, שקיבלת מהעבודה עפים קדימה ונופלים ברעש גדול על ריצפת המכונית.
אתה מעדיף לא להסתכל על הזוועה שמאחור אז אתה חוזר לנושא המהירות.
"טוב. אז נניח שהמהירות אמנם תעלה ל 120 קמ"ש כמה זמן
זה יחסוך לי ? 5 דקות ? רבע שעה ? חצי שעה ? תלוי כמובן לאיזה מרחק אני נוסע.
רגע אחד..." אתה נזכר שכשנסעת פעם לעבודה ביום גשום וערפילי במהירות ממוצעת של
60 קמ"ש הנסיעה ארכה בערך שעה, במקום 40 דקות במהירות של 90 קמ"ש. "זאת אומרת
שתוספת מהירות של 30 קמ"ש חסכה לי 20 דקות! האם זה אומר שגם המעבר
מ 90 קמ"ש ל 120 קמ"ש (שוב תוספת של 30 קמ"ש) יחסוך לי משך זמן דומה ?
מה היתה הנוסחה הארורה הזאת...<2e=mc לא לא לא - זה של
אינשטיין. משהו עם t,v לחלק ל... d איפה הנוסחאות האלו כשצריכים אותן !;"
בכלל אתה קצת עצבני היום. כשנכנסת לסופר לקנות חפיסת סיגריות התפתית להצעת
הקופאית לקנות חבילת מבצע של 4 קופסאות של אבקת כביסה של 75 גרם (;3" פעולות
כולל מרכך בריח דובדבן לימוני;"...) במחיר "מדהים" של 99.99 ש"ח במקום המחיר הרגיל
שהוא 41 ש"ח לקופסה אחת של 120 גרם. המחשב כיס שלך לא בסביבה אבל יש לך תחושה
שזה לא היה ממש עיסקת חייך... מה שמזכיר לך עוד קניה מעט פזיזה של 9 ק"ג מישמשים.
מהשוק 9 ק"ג ?! ובכן התכנית המקורית היתה לייבש אותן (הורדת את ההוראות
מהאינטרנט... )
ואח"כ למכור אותם לחבר'ה (בט"ו בשבט) ברווח קטן.
הבעיה ששכחת שכשמייבשים את המישמשים הם נוטים לאבד ממשקלם ולכן כנראה יהיה לך
קצת פחות מ 9 ק"ג מישמשים מיובשים... % ידוע לך שבמצב טרי המישמשים מכילים 70
% מים אבל כמה לעזאזל ק"ג (מיובשים) יישארו לך בסוף ? מים ובמצב מיובש 10 מים אבל כמה לעזאזל ק"ג (מיובשים) יישארו לך בסוף ?
כאילו אין לך מספיק בעיות אתה מעיף מבט למחוג הדלק ורואה שהוא לקראת הסוף.
בנסיעה בינעירונית צריכת הדלק היא 1 ליטר ל 13 ק"מ ובנסיעות הרגילות שלך שהן
בעיקרן בינעירוניות, מיכל הדלק שלך מספיק לנסיעה של בערך 520 ק"מ.
אבל דווקא בימים האחרונים אתה נוסע בעיקר בתוך העיר שם הצריכה היא 1 ליטר ל-10 ק"מ.
אז לכמה ק"מ של נסיעה עירונית יספיק המיכל דלק ?
עם כל השאלות האלו אתה מתחיל להרגיש כמו איזה אתר של חידות...
מה שמזכיר לך ששמעת איזה חידה על נירות בוערים באתר חידות מסויים...
(חידת אתגרים גליון 22) אין ספק שאתה צריך להתחיל להסתכל על הדברים בפרופורציה!

לא לא. אינני מתכוון שהשאלות אינן חשובות אלא שבכולן מתחבא יחס או פרופורציה
נוחה הנקראת "היחס הישר ;".
למי שלא זוכר את המושג העתיק הזה- ובכן:
בין שני גדלים או משתנים יש יחס ישר אם כאשר אחד מהם גדל השני גדל ב אותו היחס.
(או בניסוח קצת יותר מדוייק המנה של שני הגדלים היא קבוע)
וריאציה נוספת * של היחס הישר הוא היחס ההפוך שבו כאשר אחד המשתנים גדל השני
קטן באותו היחס (או בניסוח קצת יותר מדוייק :מכפלת המשתנים היא גודל קבוע).

אבל באמת שאין צורך להכיר את ההגדרות הפורמליות שכן הרעיון כאן הגיוני להפליא.

נראה למשל איך ניתן לפתור את הבעיות שהוצגו לעיל ללא צורך אפילו בעט ובוודאי
לא במחשבון.

1.במעבר במהירות מ 60 קמ"ש ל 90 קמ"ש אנו מקטינים את זמן הנסיעה פי = 2/3
ולכן אנו מרוויחים במעבר זה 1/3 של זמן הנסיעה.( כלומר בכל שעת נסיעה 60/90
נרוויח 20 דקות,
בכל חצי שעת נסיעה נרוויח 10 דקות, בכל רבע שעה 5 דקות, בכל 3 דקות נסיעה
נרוויח דקה וכו')

במעבר מ 90 קמ"ש ל 120 קמ"ש לעומת זאת אנו מקטינים את זמן הנסיעה פי = 3/4
90/120 ולכן
אנו מרוויחים במעבר זה רק 1/4 של זמן הנסיעה. (כלומר בכל שעת נסיעה נרוויח
15 דקות, בכל חצי שעה נסיעה נרוויח 5.7 דקות וכו')

.2 אם 120 גרם אבקת כביסה עולה 41 ש"ח אז 4*75=300 גרם באותו המחיר יעלו פי
כלומר 5 * 41.5/2 = 102 כלומר הרווח במבצע היה 5.2 ש"ח.300/120 = 5/2

.3 אם במצב טרי המישמשים מכילים 70 מים אז אחוז הפרי "נטו" במצב זה הוא 30% מים אז אחוז הפרי "נטו" במצב זה הוא 30.%
ואם במצב מיובש הם מכילים 10 מים אז אחוז הפרי "נטו" במצב זה הוא 90% מים אז אחוז הפרי "נטו" במצב זה הוא 90.%
נשים לב שכמות הפרי בשני המצבים היא זהה ורק כמות המים משתנה (כתוצאה של
הייבוש)
מכיוון שבמעבר ממצב טרי למיובש אחוז הפרי גדל פי 3 זה אומר שהכמות הכללית
(שביחס אליו
מחושבים כל האחוזים ) קטן פי 3 כלומר מ 9 ק"ג פירות טריים יישארו 3 ק"ג פירות
מיובשים.

.4 במעבר מנסיעה בינעירונית לנסיעה עירונית אתה מגביר את הצריכה פי 13/10
ולכן אתה מקטין
את מספר הק"מ שתוכל לנסוע (עם אותו מיכל דלק) פי 10/13 כלומר המיכל יספיק ל:
400 ק"מ 10/13 * = 520 ק"מ

.5 לפתרון חידת חנוכה של אתגרים תצטרכו לחכות עד שיופיע גליון 23 אך אוכל
להבטיח לכם
שגם כאן עקרון היחס הישר יפתור לכם את הבעיה ללא מאמצים גדולים מדי...

כפי שאתם רואים העקרון הנ"ל הוא די שימושי אך כמו כל עקרון צריך לעבוד איתו
בזהירות ולוודא
שהוא ישים למצב הנדון כמו שלמדה אותה אשת פרופסור שבכינוס מתמטיקאים באירופה
, בנסיון
להרשים את הנוכחים שאלה את אחת המארחות: "בפעם שעברה שהיינו בפריס קנינו מיטת
לואי ה 14
אך היא היתה קצרה מדי. אולי את יודעת איפה אפשר למצא מיטת לואי ה ;15?"
טעות מפורסמת בשימוש בעקרון זה ( קצת יותר הגיונית ) היא של הסופר (ומהמר
חובב) הצרפתי
Chevalier de Mere שב 1654 הפנה לפסקל את השאלה הבאה : " ידוע לי שהימור על
תוצאה של
6 לפחות פעם אחת מתוך 4 זריקות של קוביה הוא הימור משתלם.
לכן אם נקח זריקות של שתי קוביות שבהן יש
פי 6 תוצאות אפשריות מאשר בקוביה אחת, אז ההימור של לפחות פעם אחת תוצאת
[6,6] מתוך 24
זריקות של שתי קוביות צריך להיות גם כן הימור משתלם. אז למה אני כל הזמן
מפסיד??;"
חובבי ההסתברות שביניכם יכולים לנסות להבין מהי טעותו של.Mere de
דוגמא נוספת לטעות היא של הפסל שרצה ליצור דגם נוסף של פסל האשה המושלמת שהיה
בידו אך גבוה
פי שניים. מכיוון שהפסל המקורי שקל 1 ק"ג הוא הזמין כ 2 ק"ג חומר עבור הדגם
המוגדל אך גילה
שנגמר לו החומר עוד לפני שהגיע לשני איברים חיוניים...

עד כאן להפעם.

כמה מילים לסיום : כפי שבוודאי שמתם לב הפינה הנ"ל מוקדשת לבעיות שהן כמה
שיותר קרובות
למציאות היומיומית. אם נתקלתם בבעיה בעלת היבט מתמטי לוגי שהיא גם קצת
אקטואלית או
שימושית "בחיים" אנא כיתבו אלי. כמו כן אשמח לשמוע תגובות, הצעות, בדיחות
(מתמטיות !)
וסתם דברים מעניינים ששמתם לב אליהם-הקשורים לנושאים הנ"ל כמובן.

אלעזר ניומן


*הסיבה שיחס הפוך הוא בעצם וריאציה של יחס ישר היא שביחס הפוך יש יחס ישר
בין אחד המשתנים לבין ההופכי של המשתנה השני.

• הסתברות מציאותית
• על פילים, עכברים ומה שביניהם
• המדור ליחסים נון-טרנזיטיביים
• %100 באחוזים
• המשולש הנצחי (והיציב)