מאת: אלעזר ניומן
סביר להניח, שפעמים רבות אמרתם לעצמכם משפט מהסוג הבא:
אם
>לא
SPAN>
אם זה
נשמע לכם מוכר ואתם חושבים שאולי לכותב שורות אלו
חסר "משהו;", אז הנה כמה דוגמאות מוחשיות :
אם מנהל הבנקA מרוויח יותר מבכיר
B,ובכיר
B מרוויח יותר מחבר כנסת
C,
אז מנהל הבנקA מרוויח יותר מחבר כנסת
C (וממני).
אם מעבדA מהיר יותר ממעבד
B,ומעבד
B מהיר יותר ממעבד
C,
אז מעבדA מהיר יותר ממעבד
C.
אםA נמוך יותר מ
-B,ו
-B נמוך יותר מ
-C,
אזA נמוך יותר מ
-C.
אם עכשיו זה נשמע מוכר, אז זה המקום לספר לכם שהמשפטים הנ"ל
נכונים כי היחסים המוזכרים בהם (מרוויח יותר מ..., מהיר יותר מ..., נמוך יותר מ...)
>טרנזיטיביים
SPAN>
הם יחסים
,כלומר מקיימים את המשפט שהוזכר בתחילה.
זה גם המקום לשאול, >אינם
SPAN>
אילו יחסים טרנזיטיביים אם בכלל יש כאלו
.
ובכן, לא קשה למצוא דוגמאות.
קחו למשל את מרA שאוהב את אשתו, גברתB.גברתB אוהבת כמובן את
אמא שלה-ליידיC.
האם תוכלו להסיק מכך שמרA אוהב את ליידיC?
מובן שלא.
(יש שיאמרובהכרח לא
, אך לא נגלוש כאן לפסיכולוגיה... )
ודוגמה נוספת מעולם החי :
בני אדם ניזונים מבקר, בקר ניזון מעשב, אבל בני אדםאינם ניזונים מעשב
.
(למעט אולי כמה יוצאים מהכלל שהביקור בהודו השפיע עליהם באופן קיצוני...)
ובכן היחסים:אוהב את... ו
ניזון מ... הם דוגמאות של יחסים
שאינם טרנזיטיביים.
>מנצח את
SPAN>
ומה בדבר היחס ...
?
אםA מנצח אתB ו-B מנצח אתC, האם זה אומר ש-A מנצח אתC?
אם התשובה שלכם היא חיובית, אז כנראה שמזמן לא שיחקתם
את המשחק "אבן נייר ומספריים" שכן במשחק זה "אבן" מנצח את
ה"מספריים;", "מספריים" מנצחים את ה"נייר" ו-"נייר" מנצח את ה"אבן;! "
כלומר היחסמנצח את... במשחק זה אינו טרנזיטיבי, והדבר נובע מחוקי
המשחק שיש בהם אפילו היגיון מסוים (ראה להלן ).
אפילו בספורט, שבו החוקים מבוססים על מדדים כמותיים
(מהירות, משקל, מרחק וכו') שהם מטבעם טרנזיטיביים,
ייתכן מצב של נון- טרנזיטיביות.
דוגמה מעניינת לכך ניתן למצוא בהיסטוריה של האיגרוף.
ב-1970 ניצח המתאגרף גורג' פרייזר את מוחמד עלי ה"בלתי מנוצח;"
(שאגב נבחר לאחרונה לאחד מ"גיבורי" המאה, בסקר של הטיים האמריקאי)
בקרב שנחשב עד היום "קרב האיגרוף של המאה;".
מאוחר יותר אותו פרייזר עצמו נוצח ע"י ג'ורג' פורמן,
מתאגרף ענק ממדים שהפך ל"בלתי מנוצח" הבא בתור.
ב 1974 נערך בזאיר קרב בין מוחמד עלי לאותו ג'ורג' פורמן !
נראה היה,שלעלי בגילו ה"מופלג;"- 32, שכבר נוצח כאמור ע"י פרייזר,
לא היו הרבה סיכויים נגד פורמן ה "בלתי מנוצח;".
למרות זאת(למי שלא יודע), עלי ניצח את פורמן בסיבוב השמיני
והחזיר לעצמו את כתר האליפות.
איני יודע מה היו כותרות העיתונים בבוקר שלמחרת הקרב
אך כותרת מתבקשת היתה :
"עלי הוכיח : איגרוף אינו טרנזיטיבי !!;"
למרות שהדוגמאות הנ"ל מפתיעות במידה מסוימת
אין בהן משהו שנוגד את ההיגיון.
במשחק "אבן נייר...;", האבן אמנם יכולה לשבור את המספריים,
אך היא נעטפת (ומחוסלת) ע"י הנייר. הנייר כמובן לא יכול לעשות
הרבה מול מספריים פתוחים שנועדו בדיוק למטרה אחת :
לגזור אותו לחתיכות !
כלומר אין כאן "חזק ביותר" אלא לכל עצם יש עליונות ב"תחום;"
מסוים ונחיתות ב"תחום" אחר.
גם בעולם האיגרוף, גורמים מקריים שונים יחד עם יתרונות בתחום
מסוים הבאים לידי ביטוי דווקא מול יריב אחד ולא מול יריב אחר,
יכולים להסביר את הנון-טרנזיטיביות.
(למי שמתעניין, עלי ניצח את פורמן בעיקר בזכות טכניקה
של התחמקות, שאף זכה לשם מיוחד בענף : Dope technique-A-Rope.
כמו כן, עלי ניצח גם את פרייזר בקרב גומלין,שנערך שנה לאחמ"כ)
אבל לעתים הנון-טרנזיטיביות נראית כמנוגדת ממש להיגיון ונוצר פרדוקס אמיתי.
דוגמה מצוינת לכך ניתן למצוא בחידת שלוש הקוביות של אתגרים
(גיליון 25 בנושא פרדוקסים חידה 3)
בדוגמה הנ"ל יש שלוש קוביות הממוספרות באופן שונה.
במשחק בין זוג קוביות, הקובייה המראה מספר גבוה יותר היא הקובייה המנצחת.
כאשר קובייה A משחקת נגד קובייה B ל-A הסתברות גבוהה יותר לניצחון.
כאשר קובייה B משחקת נגד קובייה C ל-B הסתברות גבוהה יותר לניצחון.
וכאשר קובייה C משחקת נגד קובייה ?A
ההיגיון הטרנזיטיבי שלנו אומר שאם A>B ו B>C אז בהכרח A>C.
כלומר קובייה A צריכה לנצח את קובייה ! C
אבל מסתבר שכאשר קובייה A משחקת נגד קובייה C-
ל-C יש הסתברות גבוהה יותר לניצחון !
זוהי בהחלט הפתעה המובילה אותנו למסקנה הבלתי נמנעת :
היחס "הסתברות גבוהה יותר..." אינו בהכרח טרנזיטיבי !
דוגמה נוספת, לא פחות מפתיעה התגלתה ע"י מתמטיקאי בשם
Walter Penney ופורסמה בפעם הראשונה ברבעון האמריקאי
Journal of recreational mathematics באוקטובר 69.
אתאר את הפרדוקס בצורת משחק מטבע לשני שחקנים:
נסמן את שני הצדדים של המטבע ב-H ו
(head=ראש)-T (tails=פלי).
כאשר זורקים מטבע 3 פעמים ישנן 8 תוצאות אפשריות :
HTT,HTH,HHT,HHH,TTT,TTH,THT,THH (לכל תוצאה הסתברות של 1/8)
כל שחקן בוחר שלשה אחת מתוך ה-8.
זורקים את המטבע פעם אחר פעם ורושמים את התוצאה.
השחקן שהשלשה שלו הופיעה ראשונה-מנצח.
כך למשל אם A בחר את השלשה HTH ו-B בחר את השלשה THT, אז ברצף
THHTHHTH..., A מנצח שכן השלשה שלו הופיעה ראשונה.
איזו שלשה כדאי לבחור ?
לכאורה תאמרו שמכיוון שבזריקת 3 מטבעות, לכל שלשה יש אותה הסתברות
( 1/8) אין זה משנה איזו שלשה נבחר- לכולם יש אותה הסתברות !
אבל בחינה מדוקדקת יותר מראה שאין זה כך.
נקח למשל את השלשות HHH ו-THH ונבדוק מתי HHH מנצח.
אפשרות אחת היא כאשר שלשה זאת מופיעה בתחילת המשחק :...HHH
האם יש אפשרויות נוספות ? כלומר אם HHHלא הופיעה בתחילת המשחק האם
היא יכולה לנצח את THH? לפני שאתם ממשיכים לקרוא-
נסו ליצור רצף שאינו מתחיל ב- HHH,אך השלשה HHH קודמת בו ל THH.
ובכן, אחרי שגיליתם שזה בלתי אפשרי תצטרכו להסכים איתי
שההסתברות שהשלשה HHH תופיע לפני THH היא 1/8, שכן זוהי
ההסתברות ששלשה זאת תופיע בהתחלה וזוהי האפשרות היחידה שבה
HHH מנצחת.
כלומר THH מנצחת את HHH בהסתברות של ! 7/8
"טוב" אתם אומרים. "תחסוך מאיתנו את החישובים ההסתברותיים
ותגלה לנו מהי השלשה בעלת ההסתברות הגבוהה ביותר, כדי שנוכל למצוא
איזה קרבן תמים שאתו נעשה איזו התערבות לא כל כך תמימה...;".
ובכן תשובתי היא, שהייתי שמח לגלות לכם מהי השלשה בעלת ההסתברות הגבוהה
ביותר, אבל אין כזאת !
שכן השלשהTHH אמנם מנצחת את HHH, אבל מפסידה
ל-TTH המפסידה ל- HTT המפסידה ל-HHT המפסידה ל-THH !
אם נשתמש בסימן האי שוויון כדי לציין את בעל ההסתברות הגדולה יותר
נקבל : THH>HHT>HTT>TTH>THH
אילו יחס הניצחון היה טרנזיטיבי היינו מקבלים THH>THH שבודאי אינו
נכון, ולכן שוב קיבלנו יחס ניצחון (הסתברותי) שאינו טרנזיטיבי.
[אם תרצו לנצח בהתערבות מסוג זה תצטרכו לבחור כל פעם
בשלשהאחרת בהתאם לשלשה שהיריב בחר.
למעוניינים לדעת מהי השלשה האופטימלית לכל בחירה
של היריב- ראו טבלה בסוף הכתבה.[
דוגמה מפתיעה נוספת שבה מופיעה הנון- טרנזיטיביות היא
בהצבעות דמוקרטיות.
כדי להבין במה מדובר, הבה נבחן תחילה כמה בעיות קטנות המתעוררות בתחום זה.
העיקרון שעומד בבסיס כל שיטת בחירות דמוקרטית הוא שיש לקבל את " דעת הרוב;".
הבעיה היא שמושג זה אינו תמיד מוגדר היטב.
נניח למשל שיש שלושה מועמדים לראשות הממשלה,
(כמו שכמעט
קרה בבחירות האחרונות אצלנו) :
מועמד A עם 33% של הקולות
מועמד B עם 34% של הקולות
מועמד C עם 33% של הקולות.
בשיטת בחירות שבה "דעת הרוב" מוגדר להיות, המועמד עם המספר הגדול
ביותר של קולות ("רוב רגיל;"), המועמד B זוכה למרות ש- 66% מציבור
הבוחרים לא ממש רוצים אותו ואולי אפילו מתנגדים למינויו.
נניח שכדי לקבל יותר אינפורמציה לגבי רצון הרוב אנחנו עורכים הצבעה
שבה המצביעים לא מצביעים רק על מועמד אחד אלאמדרגים את המועמדים
ע"פי סדר העדיפות. נניח שמתקבלות התוצאות הבאות :
%35
>
TR>
>
TABLE>
A
C
B
%35
>
TR>
B
A
C
%30
>
TR>
C
B
A
>
TR>
> עדיפות שלישית
TD>
> עדיפות שנייה
TD>
> עדיפות ראשונה
TD>
מיהו המועמד הנבחר ע"פי "דעת הרוב;? "
נשווה את המועמדים בזוגות :
65% מעדיפים את A על B, 65% מעדיפים את B על C ו- 70% מעדיפים את C על ! A
אם נשתמש בסימונים של אי שוויון כדי לסמן עדיפות אנו מקבלים :
C>A,C
אני לא צריך לספר לכם איזה סוג יחס קיבלנו.
המשמעות של הנון- טרנזיטיביות כאן היא הרבה יותר משעשוע לוגי.
כאן אנו נאלצים להודות ש"דעת הרוב" המקודשת אינה הגיונית ואינה מוגדרת.
מצב כזה אגב מהווה פתח למניפולציות פוליטיות.
מה דעתכם למשל על הצעתו ה"תמימה" של אחד מתומכיו הנלהבים של A:
נערוך תחילה הצבעה בין המועמדים B ו-C והמנצח יתמודד מול ! A
"רעיון מצויין" יאמר בוודאי יועצו הקרוב של מועמד B על הצעה זו.
"יש רק בעיה קטנה. מועמד B שוהה כעת בחו"ל (במשימות בעלות חשיבות לאומית
עליונה, כמובן), אז אם לא אכפת לכם בואו נערוך תחילה הצבעה בין A ל C והמנצח
יתמודד מול " ! B
אני מניח שלא יהיה לכם קשה לנחש מה תהיה הצעתם של תומכי C לפתרון הבעיה.
שימו לב שאם B A ו-C מייצגים הצעות חוק במקום מועמדים (או הסכמים שאמורים
להיות מוכרעים במשאל עם...) נקבל שוב אותה בעיה של "דעת רוב" בלתי הגיונית
יחד עם האפשרות של ניצול לרעה של מצב זה להבטחת קבלת הצעה רצויה
ע"י אלו הקובעים את "סדר היום;".
(בגירסתו
&
quot;Arrows paradox"
או
לפרדוקס זה הידוע בשם ;quot;Condorcet's paradox"&
המאוחרת) הוצעו פתרונות שונים, אך הכלכלן Kenneth Arrow הוכיח ב-1951
שכאשר יש להכריע בין 3 או יותר אפשרויות (מועמדים, הצעות וכו')
לא קיימת אף שיטת הצבעה (כלומר אף שיטה של קביעת "דעת הרוב") מושלמת.
ביתר פירוט Arrow ניסח חמישה תנאים אלמנטריים, כמעט מובנים מאליהם,
ששיטת הצבעה צריכה לקיים, ואז הוכיח שלא קיימת שיטת הצבעה
המקיימתבו זמנית את חמשת התנאים האלו.
אחד מחמשת התנאים האלו הוא...
כן ניחשתם-טרנזיטיביות!
כלומר אם הרוב מעדיף אתA עלB ואתB עלC, אז
בקביעת "דעת הרוב" יש להעדיף אתA עלC !
משפט Arrow מערער את האמונה הרווחת שהכל ניתן להכרעה ע"י ה"רוב;".
בגלל חשיבות המשפט, השלכותיו למדעי המדינה ואופיו המהפכני, יש
המשווים אותו למשפט גודל (Godel) המפורסם, בלוגיקה מתמטית,
שגרם אף הוא למהפיכה מחשבתית בתחומו.
נושא המתמטיקה של הצבעות בכלל ומשפט Arrow בפרט הם נושא
למאמר נפרד. (למעוניינים- ראו רשימת מקורות בנספח למאמר זה)
לסיום ציטוט פילוסופי...
,physicists Engineers want to be experimental
,physicists Experimental physicists want to be theoretical
,mathematicians Theoretical physicists want to be
,philosophers Mathematicians want to be
,theologians Philosophers want to be
...engineers Theologians want to be
תחליטו אתם האם היחס בציטוט הוא טרנזיטיבי או לא...
להתראות בעוד שבועיים
אלעזר
תגובות, הצעות, net
בדיחות (מתמטיות) נא לשלוח ל:.online-barak@beezle
נספחים
טבלת השלשה הכדאית במשחק המטבעות :
>בחירה אופטימלית
TD>
>
TR>
>
TABLE>
HTT
HTT
TTH
TTH
HHT
HHT
THH
THH
>בחירת היריב
TD>
>
TR>
TTT
TTH
THT
THH
HTT
HTH
HHT
HHH
