על פילים, עכברים ומה שביניהם

מאת: אלעזר ניומן

האם שמעתם את הבדיחה על מה שמבדיל את הפילים מהקרציות ?
למי שלא, ובכן : לפילים יכולות להיות קרציות אבל לקרציות לא יכולים להיות פילים.

נכון שזו אולי לא הבדיחה הכי טובה ששמעתם,
אבל היא מעוררת שאלה מעניינת שאולי לא חשבתם עליה :
האם, פרט להבדלי הגודל, יש הבדלים מהותיים בין היצורים הגדולים לקטנים או
שהיצורים הגדולים הם מעין דגמים גדולים של היצורים הקטנים ולהיפך ?

ההשוואה בין פילים לקרציות אינה כל כך מוצלחת מבחינה ביולוגית
שכן פילים הם יונקים אינטלגנטיים ומקסימים, ואילו הקרציות הן חסרי חוליות, טפיליים,
וכמו שאומרים- קרציות אמיתיות,
ולכן נעדיף לערוך השוואה בין פילים לבין יונקים קטנים אחרים, כמו למשל עכברים.
נכון שגם לגבי מידת ה"קסם" של האחרונים יש קצת חילוקי דעות
אז בואו נסתכל על עכבר קטן, חמוד ובלתי מזיק,כמו למשל החדף הזעיר.
החדף הנ"ל (הנקרא כך בגלל אפו המוארך שהוא מעין חדק (!) שבקצהו נחיריים)
שוקל בערך 2 גרם, אורכו כ-5 ס"מ והוא היונק הקטן ביותר בעולם,
כך שגם אם הוא נמצא מול האף שלכם יהיה לכם קשה לראות אותו.
בכל אופן כמו עכברים קטנים אחרים, החדף מהיר כמו שד, מטפס על סלעים,
מתגלגל, >אחורה SPAN> מזנק ואפילו יכול לרוץ בתוך המחילה שהוא בונה לעצמו .

אם בתחומים אלו נשווה אותו לידידנו הפיל, אז ניתן לומר (בניסוח עדין )
שבכל ה"תחנות" הפיל נופל בין "חלש מאוד" לבין "לא עובר;".

פילים אינם מדלגים, קופצים, מטפסים או מתגלגלים וגם בריצה הם לא ממש אלופים.
(במרחקים קצרים פילים יכולים להגיע ל-45 קמ"ש- לא רע בשביל פיל
אבל די בינוני ביחס לשאר היונקים).

ומה לגבי מבחני כוח?
ובכן ברור שבמשיכת חבל הפיל מנצח בגדול וגם בהרמת משקולות,
>ביחס למשקל גופו SPAN> אבל אם נבחן את יכולת הפיל בתחום זה אז גם כאן הפיל יוצא די חלש .

החדף שלנו מסוגל להרים משקל השווה לשלוש או ארבע פעמים משקל גופו
ואילו פילנו היקר לא יצליח להרים משקל השווה אפילו לפעם אחת משקל גופו !

>נחיתות פיזית SPAN> הפיל הוא כמובן דוגמה קצת קיצונית אבל באופן כללי תופעה זאת של
(במובנים מסוימים ) של יצורים גדולים ביחס לקטנים קיימת גם אצל בעלי חיים
גדולים אחרים ואפילו בין בני אדם.

(דוגמאות נוספות : אלוף העולם במשקל קלמרים משקל גדול יותר
יחסית למשקל גופומאשר אלוף העולם במשקל כבד.
נמלה יכולה לסחוב משא הגדול פי 5 או יותר ממשקל גופה.)

כיצד ניתן להסביר תופעה זו ?
בטרם נענה על שאלה זו, הבה נבדוק הבדל נוסף שבין יונקים גדולים לקטנים-
יכולת השמירה על חום הגוף.

כמו שאתם בוודאי יודעים, אצל היונקים, לעומת הדגים והזוחלים,
טמפרטורת הגוף פחות או יותר קבועה.

אצל בני אדם טמפרטורה זו היא בסביבות ;37°,
אצל פילים-;6°.36 ואצל עכברים-;5°.36.

הגוף מאבד חום דרך העור ומחזיר לעצמו את החום האבוד ע"י האנרגיה המופקת מהמזון.
מבחינה זאת כל היונקים דומים זה לזה.

ליונקים הגדולים יש מערכת עיכול גדולה יותר,
>מייצרים SPAN> ולכן הם יותר חום מאשר יונקים קטנים ,
>שטח פני העור SPAN> אבל >מאבדים SPAN> שלהם גם כן גדול יותר ולכן הם גם יותר חום .
>מייצרים SPAN> יונקים קטנים לעומת זאת מעט חום ,
אך שטח הפנים של עורם הוא גם כן קטן, >מאבדים SPAN> ולכן הם גם >מעט SPAN> דרכו חום .

מסקנה : טמפרטורת הגוף של כל היונקים (גדולים כקטנים) היא זהה פחות או יותר
>יכולת השמירה על הטמפרטורה SPAN> וגם מבחינת של גופם
אין הבדלים משמעותיים בין היונקים הגדולים לקטנים. נכון ?
לא נכון!!
>יותר איטי SPAN> מסתבר שאיבוד החום אצל היונקים הגדולים מאשר אצל היונקים הקטנים .
יתרה מזאת, >לאבד SPAN> באזורים חמים היונקים הגדולים מתקשים דווקא חום
>לקרר SPAN> ונאלצים לעשות מאמצים ניכרים כדי את גופם .
כמו למשל ההיפופוטם שרובץ במשך כל שעות היום במים כדי לשמור על גופו מחימום יתר.

גם ידידנו הפיל נאלץ לנפנף באוזניו הענקיות כדי לפלוט את עודפי החום שבגופו.
אוזני הפיל הן בעלות שטח פנים גדול וע"י הזרמת הדם דרך האוזניים,
הדם (והגוף) מתקרר.
בקיצור, הפיל נאלץ להסתובב עם שני מזגנים צמודים לראש כדי לא להתחמם יתר על המידה !

ומה עם החדף שלנו ?
גם כשהטמפרטורה הסביבתית גבוהה, בעיותיו הן הפוכות לחלוטין.
>ירד SPAN> כדי שחום גופו לא עליו לאכול בלי הפסקה !
הכמות שחדף אוכל ביום שווה למשקל גופו ויותר,
ויחד עם זה עוד לא היה חדף אחד שנאלץ לעשות דיאטה בגלל עודף שומן.

ובכן, מצאנו הבדל מהותי נוסף בין יצורים גדולים לקטנים.

אגב, הבדל בקצב איבוד החום קיים לא רק בין בעלי חיים
גדולים וקטנים אלא בכלל בין גופים קטנים וגדולים.

השוו את קצב ההתקררות של הקפה שלכם בכוס גדולה (מג)
לבין קצב ההתקררות בכוסות הזעירות שבהן מגישים קפה שחור.
מסתבר שבכוס הזעירה הקפה מתקרר יותר מהר !

ובכן ממה נובעים הבדלים מוזרים אלו בין גדול לקטן ?
למרבה ההפתעה, התשובה היא, כמו בהרבה מקרים אחרים- מתמטית,
>שטח הפנים SPAN> והיא טמונה ביחס שבין של גוף , >נפחו SPAN> לבין :
כאשר מגדילים גוף באופן פרופורציונלי,
ככל שנפחו של הגוף גדל, היחס שבין שטח פניו לבין נפחו, קטן.
>שטח הפנים גדל "יותר לאט" מהנפח SPAN> או בניסוח פחות מדוייק :.

נבדוק עובדה זאת בקוביה.
(הטענה נכונה כמובן לכל שני גופים בעלי דמיון צורני )

נשווה קובייה שאורך צלעה 1 ס"מ לקובייה שאורך צלעה 3 ס"מ.
פרט לגודלן, שתי הקוביות נראות זהות לחלוטין. אבל :
בקובייה שאורך צלעה 1 ס"מ שטח פנים הוא : 6 סמ"ר והנפח : 1 סמ"ק.
בקובייה שאורך צלעה 3 ס"מ שטח פנים הוא : 54 סמ"ר והנפח : 27 סמ"ק.

היחס שבין שטח הפנים לנפח הוא 6 / 1=6 בקובייה הראשונה
ו 54/27=2 בקובייה השניה !
>פי 3 SPAN> או בהסתכלות אחרת : כשהגדלנו את מימד האורך ,>פי 9 SPAN> שטח הפנים גדל 2 ) ^{3 )
>פי 27 SPAN> והנפח גדל 3} ) <sup>( 3 .

ומה יקרה אם נגדיל את צלע הקובייה פי ?10
השטח יגדל פי 100, הנפח פי 1000 ויחס שטח הפנים לנפח ירד
ל 6.! 600/1000=0

ומה לתכונה מתמטית זו ולהבדלים בין בעלי חיים גדולים וקטנים ?

ראשית נפתור את בעיית קצב איבוד החום.

אצל החדף (שלצורך העניין נוכל לחשוב עליו כקובייה קטנה )
שטח הפנים של הגוף גדול מאוד ביחס לנפחו הקטן,
ולכן כמות החום שהוא מצליח לייצר קטנה ביחס לכמות החום שהוא מאבד דרך העור.

אצל הפיל לעומת זאת ( שלצורך העניין נוכל לחשוב עליו כקובייה גדולה ביותר...)
שטח הפנים של הגוף ביחס לנפחו העצום קטן ביותר,
ולכן כמות החום שהוא מייצר גדולה יחסית לכמות החום שהוא מאבד.

דומה המצב בכוסות הקפה.
שטח הפנים של דפנות הכוס, שביחד עם הצד הפתוח שלה מהווים את "שטח הפנים" של הנוזל
(שכן הנוזל מתקרר גם דרך דפנות הכוס הבאים במגע עם האוויר שמסביב),
הוא גדול יחסית לנפח הנוזל,בכוס הקטנה,וקטן יחסית, בכוס הגדולה.
ולכן בכוס הגדולה קצב איבוד החום איטי יותר.

ומה לגבי הנחיתות הפיזית של בעלי החיים הגדולים בהשוואה לקטנים ?
ובכן במקום לגלות לכם את ההסבר לתופעה זו אציג בפניכם את החלקים השונים
של ה"פזל " ותוכלו לנסות בעצמכם לצרף את ה"חלקים" ולענות על השאלה...

1. גופם של בעלי חיים נתמך ע"י מערכת השלד (כלומר העצמות ).
2. החוזק של עצם (ובדומה כל עמוד תמיכה או חבל ) נקבע ע"י השטח של
;nbsp;   &חתך העצם. ולכן כדי להגדיל את חוזק העצם יש להגדיל את קוטרו.
3. ככל שנפח (או משקל ) הגוף גדול יותר, העומס על השלד
;nbsp;   &גדול יותר ויש צורך בתמיכה חזקה יותר של מערכת השלד.
4. ראינו קודם שבהגדלה פרופורציונלית, הנפח או המשקל
;nbsp;   &גדלים הרבה יותר "מהר" משטח הפנים.
5. ככל שהעומס על מערכת השלד גדול יותר, היכולת הפיזית
;nbsp;   &(ביחס למשקל הגוף ) קטנה יותר.
6. כאשר עצמות העצם הן בעלי קוטר גדול ביחס לגוף,
;nbsp;   &מבנה השלד הוא יותר מגושם ופחות גמיש.

ולסיום כמה חידות הקשורות לקשרים שבין שטח פנים לנפח :

1. כמה צינורות מים בקוטר 4 ס"מ נדרשים כדי להעביר אותה
;nbsp;   &כמות מים כמו צינור אחד בקוטר 20 ס"מ ? ( התשובהאינה 5 )
2. מהרבה קוביות קטנות של 1 סמ"ק יוצרים קובייה אחת גדולה.
;nbsp;   &צובעים חלק מהפיאות של הקובייה הגדולה. אחרי שהצבע מתייבש
;nbsp;   &מפרקים את הקובייה שוב לקוביות קטנות ומתברר ש 60 קוביות
;nbsp;   &קטנות לא נצבעו כלל. כמה פיאות של הקוביה הגדולה נצבעו ?
3. שטח הפנים של כדור "שווה" לנפחו. (כלומר מספר הסמ"ר של
;nbsp;   &ההיקף שווה למספר הסמ"ק שבנפח ). מה קוטר הכדור ( בס"מ ).
;nbsp;   &רמז: אין ברירה כאן אלא להיזכר בקשר שבין היקף כדור לנפחו.
4. איך יודעים שיש לכם פיל מתחת למיטה ?


תשובות :
>כדי לראות את התשובות יש לסמן באמצעות העכבר את השטח מכאן FONT>
1. 25 צינורות
2. 3 פיאות. (צלע הקוביה הגדולה 5 ס"מ )
3.6 ס"מ
4. כשהאף שלכם נוגע בתיקרה !
>ועד כאן FONT> > FONT>

אלעזר ניומן

לתגובות, הצעות, בעיות מעשיות, בדיחות (מתמטיות !) וסתם דברים
מעניינים בעלי היבט מתמטי אנא כיתבו אלי ל :</sup>